Analysis and Study of Lamer Graph

Zhou Yingyan Gao Shoushan Li Hongxia Li Xiaoqi Wang Kaiming
(Laboratory of Material Physics and Chemistry,
Liaoning Anshan of I.&S. Technology, Anshan 114002)

Abstract According to the character of the functional curve of the nucleation speed formula with s=c/c₀, a simple similar representation of the nucleation speed formula is obtained. The critical nucleation concentration is included in the simple similar representation. Through quantitative discussion of the qualitative character of Lamer graph, and using the simple similar representation of the nucleation speed formula, meaningful results are obtained.
Key wards Lamer graph, Nucleation speed formula, Critical nucleation concentration
摘要 根据成核速率公式对s=c/c₀的函数曲线特征，给出了一个简化近似表达式，临界成核浓度被明显地包含在这简化近似表达式中。利用这一简化近似成核速率公式，对定性的Lamer图进行了一些量化探讨，获得了一些有意义的结果。
关键词 Lamer图 成核速率公式 临界成核浓度

Lamer图的分析与研究

周英彦 高首山 李红霞 李晓奇 王开明
(鞍山钢铁学院材料物理与化学研究室 辽宁鞍山 114002)

    Lamer图原是一个描述液相胶粒成核及长大过程的定性示意图，本文运用建立在热力学、统计力学推导基础上的成核速率公式对Lamer图作了一些量化探讨，获得一些有意义的结果。

1 Lamer图^[1-2]
    1950年Lamer等用溶液沉淀组分浓度c随时间t的变化曲线来解释均分散硫溶胶的形成过程。这种曲线后来称为Lamer图,被广泛地用于解释均分散体系的成核及长大过程。Lamer图c-t曲线见图1，在阶段I中，析出组分浓度c已超过饱和浓度c₀ ，尚未超过临界成核浓度c_k^[3]，溶液处于亚稳态，这阶段不成核；当浓度c超过c_k后进入阶段Ⅱ，大量成核，由于成核及长大的消耗，浓度c又较快地降落到c_k ，阶段Ⅱ结束；在阶段Ⅲ中，析出组分浓度满足c₀<c<c_k ，不再生成新核，只有单纯的晶粒长大。

	图1 Lamer图

	图2 对s=c/c0的关系

    Lamer图是定性示意图，没给出临界成核浓度c_k与哪些因素有关，下面将探索这一问题。

2 成核速率公式近似表达式及临界成核浓度
2.1 成核速率公式
    定义：单位时间单位体积内由临界晶核发展成晶核的数目称为成核速率^[4]。成核速率为

		(1)
	B=	(2)

式中n为溶液中未形成晶粒的析出组分分子数，Ω_s为一个分子(或原子的体积),s为晶粒的表面张力，k是玻耳兹曼常数，R是气体普适常数，r是晶粒的密度，M是摩尔质量，N_A是阿佛伽德罗常数，s=c/c₀是过饱和度。(1)式可改写为

		(3)
	a=bs3,	(4)

2.2 成核速率公式近似表达式及临界成核浓度
    下面以s=c/c₀为变量，研究函数f(s)=exp[-a/(ln s)²]对s=c/c₀的关系曲线。取π=3.1416, R=8.314 J/mol·K, T=273+77=350K，M=80 g/mol=0.08 kg/mol, ρ=3 g/cm³=3×10³ kg/m³,N_A=6.02×10²³/mol, 由(4)式得b=2.9125×10⁵m⁶/J ³，取σ=20×10^-3J/m²，由(4)式得a=2.33。根据(3)式给出f(s)对s=c/c₀的函数曲线如图2，函数曲线0defg在0d段数值很小，ef段近于直线。在实际成核过程中，由于成核及长大的消耗，过饱和度s=c/c₀不可能增长得太大，也就是说在函数曲线上难以超过ef段。据上分析,本文提出用折线0-a-b对函数曲线0defg作近似表达，如图示，线段ab贴近ef段，a点在横坐标轴上，对应于s_k=c_k/c₀，处于函数由较小数值而开始增长较快的ef段之间。折线0-a-b的近似表达式为

	＝	(5)

式中q(c-c_k)为阶跃函数有=
代入(3)式，便得到成核速率公式的近似表达式

	=	(6)

    成核速率公式近似表达式(6)既有表达简明的优点，又有建立在热力学与统计力学推导上的成核速率公式(1)做它牢实的基础。
2.3 临界成核浓度
    由图2可知，用0-a-b折线近似代替对s=c/c₀函数曲线时，a点的横坐标为s_k=c_k/c_0，按照近似表达式(6)，c_k正好就是Lamer图上的临界成核浓度。如何确定Lamer图中的临界成核浓度c_k，在已往的文献中未见有报道，以上所述提供了一个确定临界成核浓度的简明作图法。按2.2节所给的π、T、M、ρ、N_A的数据，取表面张力系数的不同数值，上述简明作图法给出相应的临界成核浓度数值如下：

s(×10-3J/m2) 10 20 50

Sk=ck/c0 1.285 2.06 10.0

3 Lamer图中几个物理量的几何表示
    在 Lamer图阶段Ⅱ中,(c-c_k)可由线段PQ表示(见图示)，故成核速率的近似几何表示为

I=K(c/c0-ck/c0 )=(K/c0)(c-ck)=(K/c0)PQ

在阶段Ⅱ中单位体积内生成的晶核总数的近似几何表示为：

		(8)

4 结论
    Lamer图原是定性示意图，本文作了一些量化探讨，由成核速率公式的近似表示式给出了确定临界核浓度c_k的简明作图法，并弄清了一些物理量在Lamer图上的几何表示方法。

5 参考文献
[1] Lamer V K , Dingar R H.J . Amer. Chem. Soc.,1950,72:4827.
[2] 王光信, 陈宗淇. 均分散体系形成原理与制备方法. 青岛化工学院学报，1993，1：1-6.
[3] 郑忠. 胶体科学导论. 北京高教出版社，1998：16.
[4] 闵乃本. 晶体生长在物理基础. 上海科技出版社，1982：339-354.

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周英彦 男，55岁，教授，主要从事液相沉淀法实验、理论研究以及纳米粉体、纳米陶瓷研究。
辽宁省教育厅高校科研项目(20092130)。  2000-10-31收稿，2001-01-11修回。